BINOMIO DE NEWTON
El teorema del binomio fue descubierto
en el año 1665, fue notificado por primera vez en dos cartas que fueron
enviadas por el funcionario y administrativo de la Royal Society, Henry
Oldenburg en el año 1676. La primera carta tenía fue fechada el 13 de junio de
1676, en respuesta a un pedido del filósofo, jurista y matemático alemán
Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien quería tener conocimiento de las labores e
investigaciones de matemáticos británicos sobre series infinitas. Por lo cual
Newton envía el enunciado de su teorema y un ejemplo ilustrativo. Leibniz
responde, en una carta fechada el 17 de agosto de 1676, que se encuentra ante
una técnica general que le permite obtener distintos resultados sobre las
cuadraturas, las series, etc., y denomina algunas de sus ramificaciones por las
investigaciones de Leibniz. Newton responde también con una carta en la que
detalla cómo ha descubierto la serie de binomios.
A partir de este
hallazgo Newton intuyó que era posible operar con series infinitas del mismo
modo que con expresiones polinómicas finitas.
Newton no se encargó
de publicar jamás el teorema del binomio. Lo hizo el matemático británico, John
Wallis en el año 1685 en su Álgebra, en la cual atribuyó a Newton el gran
hallazgo.
Un binomio corresponde
a un polinomio que se encuentra formado por dos términos. Newton desarrolló la
fórmula para así proceder al cálculo de las potencias de un binomio usando para
esto números combinatorios. Por medio de esta fórmula se puede formular la
potencia que se requiere como la suma de varios términos, cuyos coeficientes se
pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia. Vamos entonces a teorizar
la fórmula que nos dejará elevar a una potencia cualquiera de exponente
natural, n, un binomio. Con este modo se puede obtener que, para esto, vamos a
ver como se desarrollan o las potencias de (a+b)
Observando los coeficientes de cada polinomio consiguiente se puede observar el seguimiento de esta secuencia,
Sería el llamado triángulo de Tartaglia que es obtenido a partir de la notación en filas de los números combinatorios partiendo desde los de numerador 1. Entonces cada una de estas cifras es correspondiente al valor de un número combinatorio, de la siguiente forma:
Vemos que cada fila
comienza y finaliza en 1 y que los números que figuran forman una fila de modo
simétrico, es decir el primero es igual al último, el segundo igual al
penúltimo, y así sucesivamente. Cada uno de los números es la suma de los dos
que tiene encima.
En cualquier momento
se puede encontrar el valor de un número combinatorio cualquiera sea si
recordamos el cálculo con la la siguiente fórmula:
Por ejemplo si se
quiere calcular,
Veamos otro ejemplo:
Veamos otro ejemplo:
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